幂法求矩阵特征值幂法

幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量。

基本思想是:

若我们求某个n阶方阵A的特征值和特征向量，先任取一个初始n维向量x(0)，构造如下序列:

x(0),x(1)=Ax(0),x(2)=Ax(1),…, x(k)=Ax(k-1) ,… ⑴

当k增大时,序列的收敛情况与绝对值最大的特征值有密切关系，分析这一序列的极限,即可求出按模最大的特征值和特征向量。

假定矩阵A有n个线性无关的特征向量。n个特征值按模由大到小排列:

│λ1│> =│λ2│> =…> =│λn│ ⑵

其相应的特征向量为:

V1 ,V2 , …,Vn ⑶

它们构成n维空间的一组基。任取的初始向量X(0)由它们的线性组合给出

x(0)=a1V1+a2V2+…+anVn ⑷

由此知,构造的向量序列有

x(k) =Ax(k-1) = A2x(k-2) =…=Akx(0) = a1λ1kV1+a2 λ2kV2+…+anλnkVn ⑸

下面按模最大特征值λ1是单根的情况讨论:

由此公式(5)可写成

X(k) = λ1k (a1V1+a2 (λ2/λ1)kV2+…+an(λn/λ1)kVn ) ⑹

若a1≠0，由于|λi/λ1 | <1 (i≥2),故k充分大时，

X(k) = λ1k (a1V1+εk)

其中εk为一可以忽略的小量，这说明X(k)与特征向量V1相差一个常数因子，即使a1=0，由于计算过程的舍入误差，必将引入在方向上的微小分量，这一分量随着迭代过程的进展而逐渐成为主导，其收敛情况最终也将与相同。

特征值按下属方法求得:

λ1 ≈Xj(k+1)/ Xj(k) ⑺

其中Xj(k+1)， Xj(k)分别为X(k+1)，X(k)的第j各分量。

实际计算时，为了避免计算过程中出现绝对值过大或过小的数参加运算，通常在每步迭代时，将向量"归一化"即用的按模最大的分量 max |Xj(k)| 1≤j≤n 去除X(k)的各个分量，得到归一化的向量Y(k),并令 X(k+1) = AY(k)

由此得到下列迭代公式 :

Y(k) = X(k)/║ X(k)║∞

X(k+1) = AY(k) k=0,1,2,… ⑻

当k充分大时，或当║ X(k)- X(k+1)║ <ε时，

Y(k)≈V1

max |Xj(k)| ≈ λ1 ⑼

1≤j≤n

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幂法求矩阵特征值常见问题

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幂等矩阵性质

幂等矩阵的主要性质:

1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1;

2.幂等矩阵可对角化;

3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A);

4.可逆的幂等矩阵为E;

5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵;

6.幂等矩阵A满足:A(E-A)=(E-A)A=0;

7.幂等矩阵A:Ax=x的充要条件是x∈R(A);

8.A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。 考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算:

1)设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A1·A2 =A2·A1 = 0，

且有:R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2);N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2);

2)设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A1·A2 =A2·A1=A2

且有:R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 );N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 );

3)设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵， 且有:R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 );N (A

1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。

幂等矩阵概述

等价命题1:若A是幂等矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵;

等价命题2:若A是幂等矩阵，则A的AH,AT,A*，E-AH，E-AT都是幂等矩阵;

等价命题3:若A是幂等矩阵，则对于任意可逆阵T,T^(-1)·A·T也为幂等矩阵;

等价命题4:若A是幂等矩阵，A的k次幂仍是幂等矩阵

(由于数学符号编辑问题，更多等价命题及其证明见扩展阅读1)

由于幂等矩阵所具有的良好性质及其对向量空间的划分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，同时也为空间的投影过程提供了一种工具。

符号说明如下:

AT为矩阵A的转置矩阵;

AH矩阵A的共轭转置矩阵;

A*为矩阵A的伴随矩阵;

E为单位矩阵

矩阵奇异值概述

设A是一个mXn矩阵，称正半定矩阵A'A的特征值的非负平方根为矩阵A的奇异值，其中A'表示矩阵A的共扼转置矩阵.

备注：数据仅供参考，不作为投资依据。