卡方分布(Chi-square Distribution)

卡方分布 是什么

　　卡方分布 (χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

卡方分布的数学定义

　　若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为 1(即服从标准正态分布)，则随机变量X

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

卡方分布的特征

　　卡方分布的概率密度函数为：

其中x≥0, 当x≤0时fk(x) = 0。这里Γ代表Gamma 函数。

　　卡方分布的累积分布函数为：

其中γ(k,z)为不完全Gamma函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为 k 的卡方变量的平均值是 k，方差是 2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

其中ψ(x) 是 Digamma function。

卡方变数与 Gamma变数的关系

　　当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(DEGRee of freedom)

即:

卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度

　　卡方分布

参数	k > 0, 自由度
值域	,
概率密度函数	,
累积分布函数(cdf)	,
期望值	k,
中位数	大约k − 2 / 3,
众数	k-2, if,
方差	2,k,
偏态	,
峰态	12/k,
熵值
动差生成函数(mgf)	，2t<1,
特征函数	,